Ramūns Usovs

Vēlviens ieraksts no sērijas “lekciju pieraksti”

2.1. Reālo skaitļu īpašības

Aksiomātiska def.

Īpašību grupas

I R ir sakārtota:

II Saskaitīšana

III Reizināšana

IV – Arhimēda īpašība

V- nepārtrauktība

2.2. Naturālu skaitļu kopa

2.3. Veselu skaitļu kopa

2.4. Racionālu sk. Kopa

Alternatīva Q definīcija

Iracionālu skaitļu kopa sastāv no bezgalīgiem bezperiodiskiem daļskaitļiem

2.5. Skaitļu kopas minimālais un maksimālais elements; infīms un suprēms

E – skaitļu kopa

2.5.1. Skaitļu kopas minimālais un maksimālais elements.

X₀ = minE

X₀ = maxE

Funkcijas max un min.

2.5.2. Ierobežotas un neierobežotas skaitļu kopas

Skaitļu kopa E ir ierobežota no augšas <=> Eksistē tāds M, ka visiem x no E x<= M

M – kopas E mažoranta <=> M no R un Visiem x no E x <= M

M – kopas E mažoranta => visiem M’ no R M’ > M => M’ – kopas E mažoranta

maxE – kopas E mažoranta

Skaitļu kopa E ir ierobežota no apakšas<=> Eksistē tāds m, ka visiem x no E x>= m

m – kopas E minoranta <=> m no R un Visiem x no E x >= m

m – kopas E minoranta => visiem m’ no R m’ < m => m’ – kopas E minoranta

minE – kopas E minoranta

Kopa E – ierobežota <=> (E ierobežota no apakšas & E ierobežota no augšas )

Ierob. no augšas – mažorējama

Ierob. no apakšas – minorējama

E – neierobežota no augšas <=> Visiem M no R Eksistē x no E : x>M

E – neierobežota no apakšas <=> Visiem m no R Eksistē x no E : x<M

E – ir neierobežota <=> ( E – neierobežota no augšas V E – neierobežota no apakšas )

2.5.3. Skaitļu kopas infīms un suprēms

Piemēri:

E = ]0,1[ - !eksistē minE , !eksistē maxE

0 - infīms == infE

1 - suprēms == supE

E = [0,1] – infE = minE = 0; supE = maxE = 1

N

1 = minN = infN

!Eksistē maxN, bet supN = +infinity

Ja eksitē minE => infE = minE

Ja eksistē maxE => supE = maxE

2.5.4. Skaitļu kopas infīma un suprēma eksistence

Katrai netukšai skaitļu kopai E eksistē infE un supE

2.5.5 Skaitļu kopas infīma un suprēma raksturojums

Teor.

E – netukša ierobežota no augšas skaitļu kopa.

b – skaitlis

Teor.

E – netukša ierobežota no augšas skaitļu kopa.

a – skaitlis